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7 - Esempio numerico Come applicazione numerica, viene riportato lo studio della frenatura sulla portante qualora si verifichi il cedimento della traente superiore di un impianto bifune con doppia portante, realizzato con motrice a valle.
Ogni vettura è munita di quattro coppie di freni. Questo per avere una differenza di frenatura, in linea, tra l’intervento in marcia in discesa oppure verso monte. Si tratta di un freno realizzato come già detto con un dispositivo elastico che aziona una sorta di sistema articolato atto a serrare la fune portante. L’elemento elastico è costituito da 25 molle a tazza di dimensioni 140x72x8, ossia si tratta di molle con spigoli di appoggio smussati. a1)Verifica di resistenza delle molle a tazza. Il calcolo viene condotto considerando le seguenti grandezze:
Quindi con il metodo illustrato nell’appendice B) si sono ricavati i valori medi delle tensioni e del carico. Dopo, ripetendo i calcoli con i parametri leggermente variati come specificato nell’appendice A), si sono ottenuti, mediante derivazione numerica, gli scarti quadratici medi delle già citate grandezze F e s . Il risultato è dunque, espresso in forma sintetica con media e scarto quadratico medio: s = 1261 ± 27 MPa valore che non tiene conto degli attriti in quanto corrispondente ad uno schema di carico a freccia impressa (V. figura 3): Da questo si ricava il margine di sicurezza probabilistico che, come risulta applicando la 2), risulta pari a: h =4,86 ossia si è molto prossimi all’affidabilità intrinseca (R=0,964131= 0,9999994131) (V. figura 8). A tale valore del margine di sicurezza probabilistico, anche applicando la 5), corrisponde un coefficiente di sicurezza:
valore apparentemente piccolo ma giustificato dalla bassa variazione sia dei carichi che delle resistenze e dall’alto livello delle medie degli stessi.
figura 8: distribuzione dei carichi e delle resistenze a2) Verifica della forza esercitantesi tra fune e suola dei freni Si procede al calcolo della forza trasmessa dal sistema elastico quando questo ha compiuto lo spostamento necessario per portare le suole nuove a contatto con la fune. Quest’ultima è una fune chiusa con diametro nominale 68 mm. Carico esercitato dalle molle:
Manovellismo: Con riferimento alle figure 3 e 4, nel caso qui trattato si ottiene: c = 50 ± 0,008 mm r = 80 ± 0,008 mm a = 100 ± 0,009 mm b = c+r = 130 ± 0,01 mm k = 65 ± 0,008 mm m = 402 ± 0,02 mm d = 20.9 ± 0,5 mm b 0 = 30° Avendo ammesso una qualità IT8. In base alle corse ed agli effetti di attrito, questi ultimi computati secondo la 17), si ottiene, espresso in forma sintetica con media e scarto quadratico medio: F’ = 53,7 ± 1,3 kN f = 7 ± 0,1 mm ed una azione di serraggio tra fune e rame della suola, calcolata secondo le formule 18), 19), 20), 21), 22): F" = 103,5 ± 2,6 kN A questa, con un coefficiente di attrito pari a m = 1/8 ± 0,009, corrisponde una forza di frenatura FFR = 25,9 ± 1,9 kN. Durante la frenatura naturalmente si ha una forte usura delle suole dei freni che, come detto, vengono qui supposte realizzate in rame. Ammettendo tale consumo pari a 5 mm, valore abbastanza verificato negli impianti funiviari, tale forza cadrebbe a 17,5 ± 1,3 kN, questo non considerando una variazione sistematica del coefficiente di attrito per effetto del riscaldamento. In tabella 2 sono elencate le probabilità che le forze di serraggio e frenatura, corrispondenti ad un’usura dei ceppi pari a 5 mm, assumano valori superiori a quelli riportati. tabella 2
Riguardo all’affidabilità strutturale delle leve di comando delle morse del freno, queste, con sezione 130x70 e foro per il perno avente 70 mm di diametro, risultano sostanzialmente in campo di affidabilità certamente intrinseca, quindi a riassunto di quanto fatto la probabilità che il freno non intervenga per cedimento di una sua parte strutturale è pari all’affidabilità della valvola di scarico per la affidabilità delle molle. Questo, in caso di frenatura in discesa, porterebbe ad avere un’affidabilità pari a: R = 0,999 x 0,999 x ((0,964131)^25)^8) = 0,99788386 mentre in caso di frenatura in salita l’affidabilità stessa risulterebbe: R = 0,999 x ((0,964131)^25)^4) = 0,99894137 Per avere un’idea sintetica delle caratteristiche funzionali di questo freno, si riporta nella figura 9 l’andamento della forza di serraggio in funzione della corsa f, nella quale si vede come l’influenza di tale corsa sia decisamente modesta almeno all’inizio della frenatura.
figura 9:
diagramma forze di contatto-corse delle suole del freno Conclusioni Dopo quanto esposto, sebbene questo abbia più un carattere esemplificativo ed eventualmente di critica di progetto, senza tuttavia portare dei dati sperimentali di tipo originale, si possono trarre le seguenti conclusioni:
Appendice A (V. /4/, /5/) Data la grandezza funzione di n variabili xi ossia
si ha m y media della funzione y
scarto quadratico medio s y
Questo procedimento può anche essere eseguito per via numerica. Ossia stimati gli scarti quadratici medi dei singoli parametri che influenzano tutte le grandezze della funzione in oggetto, il calcolo può essere così condotto: i programmi precedente utilizzati per trovare il valore medio della funzione, possono essere adoperati per ottenere due valori a cavallo del valor medio stesso (introducendo una piccola variazione della grandezza considerata). Con i due valori della funzione considerata, è possibile eseguirne la derivata nel punto medio, variando un parametro alla volta di una quantità molto piccola. In questo modo può essere eseguita in via numerica la derivazione parziale della grandezza in oggetto rispetto al parametro considerato, derivazione che qui è stata eseguita con il metodo della derivazione centrale cioè facendo la differenza tra i due valori della funzione a cavallo del valor medio e dividendo tale differenza per il doppio dell’incremento. Appendice B Formule utilizzate per il calcolo delle molle a tazza. Queste sono state ricavate applicando la teoria del Grammell ( V. /1/, /2/) al calcolo di tali componenti (V. /16/). Come la più nota teoria di Almen-Laszlo, anche questa, che però è più generale perché riguarda gli anelli soggetti a flessione "torica", cioè a momenti radiali uniformemente distribuiti, senza limitazione degli spostamenti compiuti dalla sezione, ammette che ogni sezione radiale della molla ruoti rigidamente nel proprio piano attorno ad un certo punto, giacente su una circonferenza con centro sull’asse della molla stessa. Punto che viene determinato dall’equilibrio alla traslazione circonferenziale della sezione. Per effetto di tale rotazione le fibre circonferenziali subiscono una variazione di lunghezza che dà adito a delle tensioni circonferenziali, variabili da punto a punto della sezione. Questa risulta così inflessa. Indicati quindi con:
si ottiene nel caso di molle a sezione rettangolare:
dove con p e q si intendono gli assi, paralleli alle mediane della sezione, con origine nel centro di rotazione della sezione stessa. Il raggio della circonferenza su cui giacciono i centri è dato dalla B2):
Mediante l’equilibrio alla rotazione attorno al raggio della generica sezione è possibile ricavare il legame caratteristico tra frecce e carichi applicati. Infatti, indicando con M il momento dell’azione interna attorno al raggio della sezione che passa per il centro di rotazione della medesima si ha:
momento che può essere messo in relazione col carico F come sotto indicato:
Da qui col legame rotazioni-frecce
il problema sarebbe completamente risolto. Tuttavia il procedimento diretto di trovare data la forza F la corrispondente freccia f che richiederebbe l’introduzione della B7) e della B8) nella B3) porterebbe ad un’equazione di tipo trascendente. Quindi, per semplicità di programmazione si preferisce risolvere il problema inverso: ossia imposti un certo numero di valori di frecce mediante la B8), ricavare le corrispondenti rotazioni a che introdotte nella B3) danno il momento dell’azione interna da cui si ottiene il corrispondente carico applicato alla molla. Quindi noto da questa relazione numerica il legame F-f è possibile per ogni valore del carico determinare la corrispondente freccia, da questa la rotazione a , che introdotta nella B1) permette di calcolare le tensioni nei vari punti della molla. Naturalmente il procedimento qui seguito si riferisce a molle di sezione rettangolare. In caso di molle spianate (V. figura 11), con spianatura pari a 1/150 del diametro esterno, è possibile ripetere il procedimento sopra seguito ricordando che: - la B2) risulta poco influenzata da questa piccola variazione geometrica - la B1) non è legata alla forma della sezione - I1, I2 e I3 sono anch’essi poco influenzati dato che, come già detto, la variazione è piccola Si considerano solo variati i
punti di applicazione delle forze e delle relative reazioni. Di conseguenza le
frecce rappresentano gli spostamenti assiali di tali punti. figura 10: molla a tazza a sezione rettangolare figura 11: molla a tazza a sezione rettangolare con spigoli di appoggio smussati Bibliografia /1/ BIEZENO C.B., GRAMMEL R., Technische Dinamik, Springer, Berlin. /2/ BIEZENO C.B., GRAMMEL R., Engineering Dynamics, Blackie and Son Limited, Vol. 2, London, Traduzione dell’edizione originale /3/, 1956 /3/ ROTH M., Coefficient of Friction Between Rope and Clip, Internationale Seilbahan-Rundschau, n.3, 1973 /4/ TOGLIATTI G. Fondamenti di statistica, III Ed., Milano, CLUP, 1976 /5/ HAUGEN E.B., Probabilistic Mechanical Design, New York, John Wiley & Sons, 1976 /6/ PAOLINI G., Il problema dell’affidabilità strutturale negli apparecchi di sollevamento, in Giovannozzi R., (ed), Affidabilità strutturale degli organi delle macchine, Bologna, Pitagora, 1979 /7/ CARTER A.D., Mechanical Reliability, II ed., London, Macmillan Education ltf, 1982 /8/ NELSON W., Applied life data analysis, New York, John Wiley & Sons, 1982 /9/ PAOLINI G., Il problema dell’Affidabilità strutturale, Atti del XVII Convegno Nazionale A.I.A.S., Ancona, 1989 /10/ O’CONNOR P.D.T., Practical reliability engineering, III Ed., New York, John Wiley & Sons, 1991 /11/ PAOLINI G., General Concepts on C.P.T.’s reliability, XII Congresso Internazionale dei Trasporti a Fune, organizzato dalla OITAF, Barcellona, 2-5 Giugno, 1993 /12/ PAOLINI G., BAZZARO E., Applicazione di metodi affidabilistici allo studio di veicoli per impianti monofuni ad agganciamento automatico, Elevatori, Novembre/Dicembre, 1993 /13/ FEYRER K., Endurance formula for wire ropes under fluctuating tension, OIPEEC Technical Meeting, "Endurance of Wire Ropes under Fluctuating Tension", Universitat of Stuttgart, 21st-22nd September 1995 /14/ MURTY A.S.R., NAIKAN V.N.A., Reliability Strength design through inverse distributions-exponential and Weibull cases, Reliability Engineering and System Safety, Vol. 54, 1996 /15/ OPLATKA G., ROTH M., Endurance of steel wire ropes under fluctuating tension and twist: influence of the rope lay, Bollettino OIPEEC, n° 71, 1996 /16/ BAZZARO E., GORLA, C., MICCOLI, S., Lezioni di Tecnica delle Costruzioni Meccaniche, Milano, Edizioni Spiegel, 1997 /17/ MINISTERO DEI TASPORTI-DIREZIONE GENERALE M.C.T.C., D.M. 15 Febbraio 1969, n. 815, Prescrizioni Tecniche Speciali per le Funivie Bifuni con Movimento a va e vieni. /18/ Dipartimento Federale Svizzero dei Trasporti, delle Comunicazioni e dell’Energia, Ordonnance sur le téléphériques à va-et-vient, 1988. /19/ OPLATKA G., ROTH M., Equipment for investigating wire ropes used by the Institute for Construction Equipment and Transportation Machinery, Swiss Federal Institute of Technology Zurich, ristampa da WIRE Issue, 1981. Norme dell’ENTE NAZIONALE ITALIANO DI UNIFICAZIONE - UNI /18/ UNI 8736 /19/ UNI 8737 Norme DEUTSCHES INSTITUT FÜR NORMUNG - DIN /20/ DIN 2092 /21/ DIN 2093 ========================================================= Indirizzo del referente ed autore: Prof. dott. ing. Enrico Bazzaro Dipartimento di Meccanica Politecnico di Milano Piazza Leonardo da Vinci, 32 I-20133 MILANO |
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= 1,15
(A1)
(A2)
(A3)
(V. figura 10).
B1)
B2)
B3)
B4)
B5)
B6)
B7)
B8)
